[Proposta BI2021-A] Ajuste espaciotemporal do Covid-19 Case Fatality Ratio
Orientador: Raquel Menezes, SAPOR, UM
Descrição: No decurso da pandemia Covid-19, e em particular em fases de intenso crescimento, torna-se difícil detetar o número de casos apenas com base na testagem por RT-PCR. Uma forma indireta de inferir o número de casos passa pela sua extrapolação em função da mortalidade observada e do Case Fatality Ratio (CFR).
Existem boas estimativas para o CFR com base em dados de Wuhan. É, no entanto, sabido que este valor varia de acordo com as regiões e o momento temporal. Fatores importantes são a distribuição etária em cada país, e a proporção de gamas etárias infetadas em cada momento. Partindo de uma fórmula já conhecida que calcula o CFR em função da distribuição etária, este trabalho propõe combinar esta com dados de demografia e proporções de infeção ao longo do tempo e em cada país.
Por último, pretende-se com este tipo de resultados dar apoio na construção de indicadores sobre a evolução da pandemia no âmbito do projeto internacional www.coronasurveys.org.
Público-alvo: alunos do 1º ano do Mestrado em Estatística.
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[Proposta BI2021-B] Homologia dirigida
Orientador: Thomas Kahl, GTA, UM
Descrição: A topologia dirigida é uma subárea relativamente recente da topologia que surgiu na interface entre a topologia algébrica e a teoria da concorrência. O espaço de estados de um sistema concorrente pode ser visto como um espaço dirigido, isto é, um espaço munido de uma direção representando o fluxo do tempo. A fim de generalizar a homologia clássica de modo a refletir a estrutura direcional de espaços dirigidos, várias noções de homologia dirigida foram examinadas na literatura. O objetivo deste projeto é estudar o conceito de homologia dirigida introduzido por Grandis. Este conceito é principalmente definido para conjuntos cúbicos, que representam uma classe particularmente importante de espaços dirigidos. Serão estabelecidas versões dirigidas do Teorema de invariância do tipo de homotopia, do Teorema de Mayer-Vietoris e do Teorema de Künneth. Este projeto permitirá consolidar conhecimentos em topologia algébrica iniciando a exploração de um domínio de investigação atual.
Público-alvo: alunos do 2º ano do Mestrado em Matemática.
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[Proposta BI2021-C] Sistemas Dedutivos para Lógica Quântica Minimal
Orientador: José Carlos Espírito Santo, ALC, UM
Descrição: Uma forma de entender as lógicas não-clássicas é através das estruturas algébricas que constituem a classe de modelos da lógica. Enquanto a lógica clássica corresponde às álgebras de Boole, cada lógica-não clássica corresponde a uma classe de álgebras generalizando as álgebras de Boole. A lógica quântica [1] é a lógica não-clássica que corresponde à classe dos ortorreticulados modulares. A teoria da demonstração é o ramo da Lógica que estuda os sistemas dedutivos [2]. A lógica quântica minimal (LQM) e uma versão da lógica quântica com boas propriedades ao nível da teoria da demonstração [3, 4]. O objectivo do projecto é familiarizar-se com a LQM e estudar diferentes sistemas dedutivos para esta lógica, com ênfase na família de sistemas conhecidos por cálculos de sequentes [4, 5, 6].
[1] M. L. Dalla Chiara. Quantum Logic. Handbook of Philosophical Logic, Vol. III, Reidel Publishing Company, 1986.
[2] S. Negri and J. von Plato. Structural Proof Theory. Cambridge University Press, 2001.
[3] R. Goldblatt. Semantic analysis of orthologic. Journal of Philosophical Logic, Vol 3(1-2), pp 19-35, 1974.
[4] O. Laurent. Focusing in Orthologic. Logical Methods in Computer Science, Vol 13 (3:6), pp 1-25, 2017.
[5] J. Schulte Montig. Cut elimination and word problems for varieties of lattices. Algebra Universalis, Vol 12, pp 290 - 321, 1981.
[6] H. Nishimura. Gentzen methods in quantum logic. Handbook of Quantum Logic and Quantum Structures: Quantum Logic, pp 227 - 260, Elsevier, 2009.
Público-alvo: alunos do 2º ano do Mestrado em Matemática
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[Proposta BI2021-D] O produto vetorial e as álgebras de Lie
Orientador: Ana Cristina Ferreira, GTA, UM
Descrição: Álgebra de Lie são dos temas em matemática que melhor fazem a ponte entre duas das suas grandes áreas: a álgebra linear e a geometria. Uma álgebra de Lie é essencialmente um espaço vetorial munido de uma operação binária a que se chama o colchete de Lie. Apesar da definição abstrata, o que é extraordinário é que toda a álgebra de Lie pode ser realizada por objetos muito familiares: as matrizes quadradas, sendo que o colchete de Lie é simplesmente o comutador entre duas matrizes. Numa vertente híbrida entre a geometria e a álgebra, podemos estudar a relação entre a álgebra de Lie $\mathfrak{g}_2$ e as álgebras de composição (a álgebra dos complexos, dos quaterniões e dos octoniões) e as suas implicações ao nível da geometria de espaços euclidianos. Esta interligação permite mostrar que existe um produto vetorial muito semelhante ao de $\mathbb{R}^3$ em $\mathbb{R}^7$. Uma direção de investigação será estudar uma generalização de produto vetorial, não para um par de vetores que é o produto usual, mas sim para um terno de vetores.
Público-alvo: alunos do 1º ano de mestrado (áreas da Matemática, das Ciências da Computação ou da Estatísca).
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[Proposta BI2021-E] Classificação e otimização de portefólios
Orientador: Irene Brito, GTA, UM
Descrição: O objetivo deste projeto é estudar modelos de decisão e medidas de risco que dependem da utilidade esperada e de medidas de incerteza como a entropia e a variância, com o fim de aplica-los à classificação e à otimização de portefólios.
Numa primeira fase é feita uma introdução à Teoria da Utilidade e à Teoria do Risco, onde serão estudados o modelo de utilidade esperada, medidas de risco e outros modelos de decisão baseados na utilidade esperada (modelo de utilidade esperada e entropia, modelo de utilidade esperada, entropia e variância). Estes modelos serão aplicados a problemas de classificação e otimização de portefólios de ações. Pretende-se determinar subconjuntos de ações do PSI20, que têm risco mínimo e utilidade esperada de retorno máxima, de modo a construir portefólios eficientes. Os resultados são comparados com os resultados obtidos com o modelo tradicional de média-variância para a seleção de portfólios.
Kaas, R. et al., Modern actuarial risk theory. 2nd ed., Springer, (2008).
Yang, J., Feng, Y., Qiu, W., Stock Selection for Portfolios Using Expected Utility-Entropy Decision Model. Entropy 19, 508, (2017).
Público-alvo: alunos do 1º ano do Mestrado em Estatística.
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[Proposta BI2021-F] Verificação formal em Coq de alguns meta-teoremas do cálculo-lambda
Orientador: Luís Pinto, ALC, UM
Descrição: Tem sido defendido que o desenvolvimento de meta-teoria de sistemas formais, tais como lógicas e linguagens de programação, deve ser acompanhado de uma verificação formal em computador [1]. O objectivo deste projeto é o de introduzir o bolseiro à prática deste tipo de verificação, feita no assistente de prova Coq. Isto inclui o trabalho de atingir um elevado nível de desempenho na utilização desta ferramenta. O resultado a formalizar é o meta-teorema da standardização, seguindo a prova que foi obtida em [2].
Caso o tempo permita, será ainda realizado trabalho de verificação da meta-teoria de uma variante do cálculo-lambda desenvolvida nos últimos anos no CMAT [3].
[1] Aydemir, B. E. et al., Mechanized methatheory for the masses, Proc. TPHOLs 2005, Lecture Notes in Computer Science, vol 3603, pp 50-65, 2005.
[2] Espírito Santo, J., Pinto, L., Uustalu, T., Modal embeddings and calling paradigms, Proc. FSCD 2019, LIPICs, vol 131, 2019.
[3] Espírito Santo, J., Frade, M. J., Pinto, L., Permutability in Proof Terms for Intuitionistic Sequent Calculus with Cuts, Proc. TYPES 2016, LIPICs, vol 97, 2018
Público-alvo: alunos do 1º ano do Mestrado em Matemática e Computação.
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[Proposta BI2021-G] Grupos de Clifford na computação quântica
Orientador: Pedro Patrício, ALC, UM e Rui Soares Barbosa, INL
Descrição: Os grupos de Clifford foram introduzidos, no âmbito dos códigos correctores de erros quânticos, por D.Gottesmann em 1998.
Num computador quântico é necessária alguma codificação que seja tolerante a falhas, nomeadamente das memórias e das portas quânticas. Uma forma de corrigir estas falhas é a utilização de códigos corretores de erros. O teorema de não-clonagem poderia indicar que os códigos corretores de erros clássicos seriam inviáveis neste paradigma. No entanto, os códigos estabilizadores mostram que é, de facto, possível a construção sistemática de códigos correctores de erros quânticos, fazendo uso de códigos clássicos, como, por exemplo, o código de Steane de 7 qubits [[7, 1, 3]]. Estes códigos fazem uso de grupos estabilizadores (subgrupos abelianos do grupo $P_n$ das matrizes de Pauli em $n$ qubits).
Um grupo de transformações importantes neste contexto é o grupo de Clifford: é o normalizador do grupo das matrizes de Pauli generalizadas, subgrupo do grupo unitário (de grau $2^n$).
Pretende-se que o bolseiro faça um estudo do estado da arte do tema, como o impacto da abordagem na computação quântica usando o grupo de Clifford.
Daniel Gottesman, An Introduction to Quantum Error Correction and Fault-Tolerant Quantum Computation, Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, https://arxiv.org/abs/0904.2557v1, 2009.
D. Gottesman, Stabilizer codes and quantum error correction, Ph.D. thesis, Caltech, 2002.
J. Tolar, On Clifford groups in quantum computing, IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series 1071 (2018)
Shawn X. Cui, Daniel Gottesman, Anirudh Krishna, Diagonal gates in the Clifford hierarchy, Phys. Rev. A 95, 012329, 2017. https://arxiv.org/abs/1608.06596
Público-alvo: alunos do 1º ano do Mestrado em Matemática e Computação.