[Proposta BII2021-A] Uma abordagem ao estudo dos números irracionais via sistemas dinâmicos
Orientador: Davide Azevedo, ANAP, UM
Descrição: Dado um número real $\alpha$, seja $frac(\alpha)=\alpha(mod\,1)$. Considerando $\alpha$ um número irracional, pretende-se estudar a sucessão $\big(frac(n\alpha)\big)_{_{n\in\mathbb N}}.$
Serão estudados o Teorema de Kronecker, que afirma que esta sucessão é densa no intervalo $[0,1]$ e o Teorema de Weyl, que mostra que a sucessão está uniformemente distribuída no intervalo.
Público-alvo: alunos do 1º ano de licenciatura (áreas da Matemática, das Ciências da Computação ou da Estatística).
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[Proposta BII2021-B] Euler - um legado para todos
Orientador: Eurica Henriques, Luís Roçadas, ANAP, ALC, UTAD
Descrição: Euler, matemático do século XVIII, é considerado por muitos como um dos grandes matemáticos de todos os tempos não só pelas inúmeras temáticas que estudou como também pelo vasto legado que deixou. A proximidade de Euler à família Bernoulli e a Goldbach estarão certamente relacionadas com o seu interesse pelo cálculo infinitesimal e pela teoria de números.
Neste projeto de investigação pretende-se contextualizar histórica e matematicamente a vida e obra de Euler bem como aprofundar algumas das temáticas por ele estudadas, nomeadamente
- logaritmo de números negativos
- pequeno teorema de Fermat, generalização de Euler e aplicações ao código RSA
Público-alvo: alunos do 1º ano de licenciatura (áreas da Matemática, das Ciências da Computação ou da Estatística).
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[Proposta BII2021-C] Quaternions: uma toolbox para Matlab
Orientador: Maria Irene Falcão, ANAP, UM
Descrição: Os quaterniões foram introduzidos em 1843 pelo matemático Hamilton como uma generalização dos números complexos. Atualmente, os quaterniões são reconhecidos como uma ferramenta importante para modelar problemas em inúmeras áreas das ciências aplicadas. Em particular, polinómios cujos coeficientes são quaterniões podem ser usados em robótica, realidade virtual ou processamento de imagem, motivando o aparecimento de métodos numéricos para aproximar numericamente os seus zeros. De facto, podem encontrar-se na literatura contribuições recentes nesta área baseadas no uso de aritmética complexa, mas métodos numéricos totalmente implementados em aritmética quaterniónica, embora evidenciem ser computacionalmente competitivos, são ainda escassos.
Neste projeto pretende-se desenvolver uma toolbox para Matlab que defina os objetos necessários à manipulação de polinómios cujos coeficientes são quaterniões. Deverá ser produzido um manual do utilizador, com a descrição das classes e funções implementadas, juntamente com exemplos ilustrativos da sua aplicação. Esta toolbox será posteriormente usada para implementação e comparação de alguns métodos numéricos para aproximação dos zeros de polinómios quaterniónicos.
Público-alvo: alunos de licenciatura com experiência de programação em Matlab (áreas da Matemática, das Ciências da Computação ou da Estatística).
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[Proposta BII2021-D] Um modelo matemático de autoimunidade
Orientador: Maria Piedade Ramos, GTA, UM
Descrição: Neste projeto pretende-se desenvolver um modelo matemático para estudar as interações celulares que desencadeiam um episódio de doença autoimune. Há poucos modelos matemáticos na literatura científica que descrevem a dinâmica dos intervenientes principais, a nível celular, responsáveis por desencadearem este tipo de reação autoimune. Recentemente, foi desenvolvido um modelo cinético com quatro populações de células que descreve a dinâmica destas e que, em termos matemáticos, apresenta um comportamento recorrente com relação a esta dinâmica. Este comportamento é importante porque biologicamente pode ser interpretado como descrevendo a natureza crónica deste tipo de doenças. Propomos que o aluno neste projeto, generalize este modelo de forma a incluir o efeito de uma imunoterapia no sistema, descrevendo, assim, uma resposta imunitária reforçada no controle dos episódios recorrentes. O objetivo desta inclusão é estudar o papel da imunoterapia na recorrência do modelo, ou seja, no padrão de remissão/reincidência dos sintomas das doenças autoimunes.
Público-alvo: alunos do 3º ano de licenciatura (áreas da Matemática, das Ciências da Computação ou da Estatística).