[Proposta BII2022-A] Análise de padrões e correlação entre variáveis nos desembarques de peixes pelágicos em Portugal Continental
Orientadores: Raquel Menezes (rmenezes@math.uminho.pt)
Público-alvo: alunos de licenciatura (área da Estatística).
Descrição: Com este trabalho pretende-se analisar os padrões regionais e temporais nos desembarques de peixes pelágicos em Portugal Continental, a fim de compreender a evolução ao longo do tempo, recorrendo-se a dados de desembarques oficiais da frota da pesca do cerco. De forma a atingir este objetivo, será necessário desenvolver uma aplicação gráfica em ambiente R, para visualizar rapidamente as principais características espaciais e temporais dos dados referentes aos desembarques do peixe capturado.
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[Proposta BII2022-B] Coloração de grafos planares sem lacetes nem triângulos
Orientadores: Assis Azevedo (assis@math.uminho.pt)
Público-alvo: alunos do 2º ou 3º ano de licenciatura ( (áreas da Matemática e das Ciências da Computação).
Descrição: Sabendo-se que o problema de decidir se um grafo admite uma coloração (dos seus vértices) com 3 cores é NP-difícil, é natural tentar encontrar classes formadas apenas por grafos nessas condições. Uma resposta a esta questão é dada pelo conhecido teorema de Grötzsch que diz que um grafo planar (ou mergulhado numa esfera) livre de triângulos pode ser colorido com 3 cores. De facto, o resultado é válido em condições mais gerais: por exemplo, para grafos planares admitindo até 3 triângulos.
Uma outra questão é a de saber qual a complexidade do algoritmo para colorir com 3 cores um grafo livre de triângulos. Sucessivas demonstrações do teorema de Grötzsch apresentaram complexidades cada vez menores até que Dvorak, Kawarabayashi e Thomas forneceram um algoritmo em tempo linear para a coloração desses grafos.
A condição de planaridade não pode ser retirada, como mostra o chamado grafo de Grötzsch, que não tem triângulos, mas necessita de 4 cores para ser colorido. Em 1955, Mycielski definiu uma construção que lhe permitiu mostrar que existem grafos livres de triângulos com número cromático arbitrariamente grande.
Questões sobre coloração de grafos são também colocadas em grafos mergulhados em n-toros sendo até que, em alguns casos a situação pode ser mais simples. Por exemplo, a prova de que todo o grafo planar (ou mergulhado numa esfera), sem mais restrições, pode ser colorido com 4 cores é um resultado muito complicado (tendo até sido muito polémico) mas o seu correspondente em n-toros, é (comparativamente) muito simples.
Bibliografia:
Z. Dvorak, K. Kawarabayashi and R. Thomas, Three-coloring triangle-free planar graphs in linear time, Proceedings of the Twentieth Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms, 1176-1182, SIAM, Philadelphia, PA, 2009.
J. Mycielski, Sur le coloriage des graphs, Colloq. Math. 3 (1955), 161-162.
H. Grötzsch, Zur Theorie der diskreten Gebilde. VII. Ein Dreifarbensatz für dreikreisfreie Netze auf der Kugel, Wiss. Z. Martin-Luther-Univ. Halle-Wittenberg Math.-Natur. Reihe 8 (1958/59) 109-120.
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[Proposta BII2022-C] Extremos condicionados e aplicações
Orientadores: Catarina Avelino (cavelino@utad.pt) e Altino Santos (afolgado@utad.pt)
Público-alvo: alunos de licenciatura (áreas da Matemática, da Matemática Aplicada e Ciência de Dados, das Ciências da Computação ou da Estatística)
Descrição: A otimização surge como um dos temas centrais em algumas unidades curriculares de matemática, uma vez que problemas de obtenção de máximos e de mínimos suscitam grande interesse devido às suas vastas aplicações. Tendo como base a fundamentação teórica de suporte, pretende-se estudar diferentes abordagens para este tipo de problemas e proporcionar o relacionamento de conceitos. Serão ainda analisadas aplicações através da modelação e resolução de problemas da vida real.
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[Proposta BII2022-D] Flashes matemáticos
Orientadores: Fernando Miranda (fmiranda@math.uminho.pt) e M. Irene Falcão (mif@math.uminho.pt)
Público-alvo: alunos do 2º ou 3º ano de licenciatura ( (áreas da Matemática e das Ciências da Computação).
Descrição: Alguns conceitos matemáticos essenciais na formação de estudantes de matemática são complexos ou envolvem subtilezas que dificultam a sua compreensão. O objetivo deste projeto é usar computação dinâmica para "iluminar" alguns desses conceitos. Usando o sistema Mathematica, pretende-se construir objetos interativos que permitam, através da sua manipulação, clarificar noções e resultados matemáticos fundamentais. Os objetos construídos ficarão disponíveis num portal acessível a toda a comunidade académica. Pretende-se ainda que alguns dos recursos desenvolvidos venham a constar da página Wolfram demonstration project.
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[Proposta BII2022-E] : LCA- Logaritmos, Congruências e Aplicações
Orientadores: Eurica Henriques (eurica@utad.pt) e Luís Roçadas (rocadas@utad.pt)
Público-alvo: alunos de licenciatura (áreas da Matemática, da Matemática Aplicada e Ciência de Dados, das Ciências da Computação ou da Estatística)
Descrição: Euler, matemático do século XVIII, é considerado por muitos como um dos grandes matemáticos de todos os tempos não só pelas inúmeras temáticas que estudou como também pelo vasto legado que deixou. A proximidade de Euler à família Bernoulli e a Goldbach estarão certamente relacionadas com o seu interesse pelo cálculo infinitesimal e pela teoria de números.
Neste projeto de investigação propomos aprofundar algumas das temáticas por ele estudadas, nomeadamente logaritmo de números negativos; pequeno teorema de Fermat, generalização de Euler e aplicações ao código RSA.
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[Proposta BII2022-F] Modelos de regressão linear com erros correlacionados
Orientadores: Arminda Manuela Gonçalves (mneves@math.uminho.pt)
Público-alvo: alunos do 2º ano de licenciatura (área da Estatística).
Descrição: O principal objetivo deste estudo é analisar e avaliar modelos estatísticos, no contexto de modelos de decomposição clássica associados a modelos de regressão linear múltipla, de séries temporais com aplicação a dados reais: dados ambientais. Em particular, será estudado o impacto da autocorrelação temporal (tipicamente presente em séries de dados ambientais) nos modelos de forma a incorporar uma estrutura autorregressiva.
Bibliografia:
[1] Gonçalves A.M. & Alpuim T. (2011). Water quality monitoring using cluster analysis and linear models. Environmetrics, 22(8):933 - 945.
[2] Alpuim, T., El-Shaarawi, A. (1999). Modelling monthly temperature data in Lisbon and Prague. Environmetrics, 20(7):835-852.
[3] Costa, M & Gonçalves, A.M. (2012). Combining statistical methodologies in water quality monitoring in a hydrological basin – space and time approaches. Water Quality Monitoring and Assessment, 121-142, Croatia: Intech.
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[Proposta BII2022-G] O grupo fundamental da circunferência
Orientador: Lucile Vandembroucq (lucile@math.uminho.pt)
Público-alvo: alunos do 2º ou 3º ano de licenciatura (área da Matemática).
Descrição: Dois laços (caminhos contínuos fechados) num subconjunto $X$ de $\mathbb{R}^n$ são homotópicos se um pode ser deformado continuamente no outro sem sair de $X$. O grupo fundamental de $X$ é o conjunto das classes de homotopia dos seus laços munido da lei de concatenação. O objetivo é estudar o primeiro exemplo não trivial deste conceito fundamental de Topologia Algébrica. Nomeadamente mostrar-se-á que o grupo fundamental da circunferência é isomorfo ao grupo aditivo $Z$. Aplicações notáveis deste resultado incluem uma prova do Teorema Fundamental da Álgebra e do Teorema do Ponto Fixo de Brouwer em dimensão 2.
Bibliografia:
{1] Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2001.
[2] Elon Lages Lima, Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento - Edição número 4, Coleção Projeto Euclides, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 2012.
[3] Martin D. Crossley, Essential Topology, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer-Verlag, 2010.
[4] M.A. Armstrong, Basic Topology, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1990.
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[Proposta BII2022-H] O produto vetorial de $\mathbb{R}^7$
Orientador: Ana Cristina Ferreira (anaferreira@math.uminho.pt)
Público-alvo: alunos do 2º ou 3º ano de licenciatura (área da Matemática).
Descrição: O produto vetorial de dois vetores em $\mathbb{R}^3$ é um conceito bem conhecido e é simples compreender qual é a dependência do espaço ser tridimensional. Quando questionados, os alunos costumam responder que não é possível definir um produto com características semelhantes noutras dimensões, mas tal não é verdade. É possível definir um produto vetorial também em $\mathbb{R}^7$.
Neste projeto pretende-se que o aluno analise quais são as propriedades que um produto de dois vetores deve ter para ser considerado um produto vetorial e que investigue qual a relação destes produtos em dimensões 3 e 7 com as chamadas álgebras de composição dos quaterniões e dos octoniões.
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[Proposta BII2022-I] Ortogonalidade em álgebra e geometria
Orientador: José R. Oliveira (jmo@math.uminho.pt)
Público-alvo: alunos do 3º ano de licenciatura (área da Matemática).
Descrição: A noção clássica de fibrado vetorial suave caracteriza-se por uma aplicação suave entre duas variedades suaves – o espaço total e o espaço base – satisfazendo certas condições de trivialização de modo que o espaço total pode ser considerado como uma família de espaços vetoriais, designadas por fibras, parametrizada pelos pontos do espaço base. Quando as fibras são subespaços vetoriais de um espaço vetorial euclidiano, um fibrado vetorial suave pode ser visto como uma aplicação suave com valores no espaço vetorial dos automorfismos lineares autoadjuntos e idempotentes do espaço vetorial euclidiano que, a cada ponto do espaço base, corresponde a projeção ortogonal sobre a fibra nesse ponto. Esta caracterização é ainda equivalente à suavidade da aplicação com valores na variedade de Grassmann do espaço ambiente das fibras que, a cada ponto do espaço base, associa a fibra nesse ponto. A equivalência de ambas as caracterizações para fibrados vetoriais suaves requer métodos clássicos de ortogonalidade e diferenciação. Este trabalho compreende o estudo desses métodos que esclarecem essa equivalência em ambiente euclidiano.
Bibliografia:
[1] Nicolas Bourbaki – Algebra I, Chapters 1-3, Springer-Verlag, 1989.
[2] Roger Godement – Cours d’algèbre, Hermann, 1966.
[3] Nicolas Bourbaki – Variétés différentielles et analytiques, Hermann, 1971.
[4] Jean Dieudonné – Éléments d’analyse, Tome 3, Gauthier-Villars, 1970.
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[Proposta BII2022-J] Pesquisa de abordagens matemáticas aplicadas no estudo do cancro
Orientadores: Regina de Almeida (ralmeida@utad.pt), Ana Paula Teixeira (ateixeir@utad.pt)
Público-alvo: alunos de licenciatura (áreas da Matemática, da Matemática Aplicada e Ciência de Dados, das Ciências da Computação ou da Estatística)
Descrição: Embora o cancro tenha sido sempre um tópico de interesse para a comunidade científica, no seculo XXI verificou-se a publicação de vários artigos de investigação onde as técnicas matemática têm um papel de relevo na análise de tumores. Este projeto tem como objetivo fazer um levantamento e uma caracterização das diferentes técnicas matemáticas aplicadas ao estudo de tumores, para conhecer o que já foi feito e ter uma maior perceção das futuras direções da investigação nesta área.
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