[Proposta BI2022-A] Análise de risco na avaliação da qualidade de água de superfície de uma bacia hidrográfica
Orientadores: Arminda Manuela Gonçalves (mneves@math.uminho.pt) e Irene Brito (ireneb@math.uminho.pt)
Público-alvo: alunos do 1º ano do Mestrado em Estatística para Ciências de Dados.
Descrição: No contexto de um problema de monitorização da qualidade de água de superfície de uma bacia hidrográfica (do rio Douro) propõe-se uma abordagem na área de teoria do risco, pela aplicação de modelos de decisão e medidas de risco de incerteza, como entropia e variância. O objetivo principal deste projeto é analisar e classificar estações de monitorização da qualidade de água quanto ao seu grau de poluição. Para isso são consideradas variáveis ambientais, medidas mensalmente em estações de amostragem de qualidade de água, como oxigénio dissolvido, carência bioquímica de oxigénio, clorofila, temperatura da água e pH. Assim, pretende-se estabelecer novos processos de classificação de qualidade de águas de superfície, num contexto de incerteza e de risco, e compará-los com processos usuais de classificação utilizados pela Direção Nacional de Gestão de Recursos Hídricos (DNGRH).
Bibliografia:
[1] Kaas, R. et al. (2008). Modern actuarial risk theory. 2nd Edition, Springer.
[2] Klugman, S.A. et al. (2019). Loss Models: From Data to Decisions. 5th Edition, Wiley.
[3] Costa, M & Gonçalves, A.M. (2012). Combining statistical methodologies in water quality monitoring in a hydrological basin – space and time approaches. Water Quality Monitoring and Assessment, 121-142, Croatia: Intech.
[4] INAG, Instituto da Água (2015). Relatório Síntese sobre a Caracterização das Regiões Hidrográficas previstas na Directiva-Quadro da Água, Ministério do Ambiente, do Ordenamento do Território e do Desenvolvimento Regional, Portugal.
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[Proposta BI2022-B] Geoestatística Multivariada: caracterização de funções de covariância-cruzada
Orientador: Raquel Menezes (rmenezes@math.uminho.pt)
Público-alvo: alunos do 1º ano do Mestrado em Estatística para Ciências de Dados.
Descrição: A Geoestatística Multivariada preocupa-se com a modelação de múltiplas variáveis espacialmente correlacionadas. Na atualidade, a importância da Geoestatística é justificada pelo desenvolvimento tecnológico que permite a fácil obtenção de grandes quantidades de dados com referência geográfica. Neste projeto pretende-se analisar métodos de estimação não-paramétricos das funções de covariância-cruzada, tendo uma forte ênfase no desenvolvimento de estudos numéricos. A aplicação a dados reais, no âmbito de colaboração com o IPMA, e a preparação de artigo científico incluem os objetivos propostos.
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[Proposta BI2022-C] Grupos de Clifford na computação quântica
Orientador: Pedro Patrício (pedro@math.uminho.pt)
Público-alvo: alunos do 1º ano do Mestrado em Matemática e Computação.
Descrição: Os grupos de Clifford foram introduzidos, no âmbito dos códigos correctores de erros quânticos, por D.Gottesmann em 1998.
Num computador quântico é necessária alguma codificação que seja tolerante a falhas, nomeadamente das memórias e das portas quânticas. Uma forma de corrigir estas falhas é a utilização de códigos corretores de erros. O teorema de não-clonagem poderia indicar que os códigos corretores de erros clássicos seriam inviáveis neste paradigma. No entanto, os códigos estabilizadores mostram que é, de facto, possível a construção sistemática de códigos correctores de erros quânticos, fazendo uso de códigos clássicos, como, por exemplo, o código de Steane de 7 qubits [[7, 1, 3]]. Estes códigos fazem uso de grupos estabilizadores (subgrupos abelianos do grupo $P_n$ das matrizes de Pauli em $n$ qubits). Um grupo de transformações importantes neste contexto é o grupo de Clifford: é o normalizador do grupo das matrizes de Pauli generalizadas, subgrupo do grupo unitário (de grau $2^n$).
Pretende-se que o bolseiro faça um estudo do estado da arte do tema, como o impacto da abordagem na computação quântica usando o grupo de Clifford.
Bibliografia:
Daniel Gottesman, An Introduction to Quantum Error Correction and Fault-Tolerant Quantum Computation, Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, https://arxiv.org/abs/0904.2557v1, 2009.
D. Gottesman, Stabilizer codes and quantum error correction, Ph.D. thesis, Caltech, 2002.
J. Tolar, On Clifford groups in quantum computing, IOP Conf. Series: Journal of Physics: Conf. Series 1071 (2018)
Shawn X. Cui, Daniel Gottesman, Anirudh Krishna, Diagonal gates in the Clifford hierarchy, Phys. Rev. A 95, 012329, 2017. https://arxiv.org/abs/1608.06596
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[Proposta BI2022-D] Implementação de Métodos de Pré-Treino em Machine Learning
Orientadores: Fernanda Costa (mfc@math.uminho.pt) e Luís Ferrás (llima@math.uminho.pt)
Público-alvo: alunos do 1º ano do Mestrado em Matemática e Computação.
Descrição: Uma das abordagens mais importantes em Machine Learning (ML) é a Artificial Neuronal Network (NN). A mais simples é a NN com uma única camada oculta, as mais complexas são as Deep Neural Networks (DNNs) que possuem muitas camadas ocultas, representando a capacidade de abstração da rede. No entanto, treinar as DNNs é ainda atualmente um trabalho difícil e tedioso. Este trabalho tem como objetivo a implementação de métodos de pré-treino, por exemplo o layer-by-layer; teste e desenvolvimento de novos métodos de pré-treino, que permitam resolver problemas ML no contexto de uma DNN, para os dados em estudo.
Bibliografia:
[1] Deep Learning, Ian Goodfellow and Yoshua Bengio and Aaron Courville. MIT Press 2016.
[2] J. Schmidhuber, Deep learning in neural networks: an overview. Neural Netw. 61, 85–117 (2015)
[3] Seyyede Zohreh Seyyedsalehi and Seyyed Ali Seyyedsalehi , Why Dose Layer-by-Layer Pre-training Improve Deep Neural Networks Learning? https://doi.org/10.1007/978-3-030-11479-4_13
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[Proposta BI2022-E] Lógica proposicional clássica parcial
Orientadores: José Carlos Espírito Santo (jes@math.uminho.pt) e Luís Pinto (luis@math.uminho.pt)
Público-alvo: alunos do 1º ano do Mestrado em Matemática e Computação.
Descrição: Kochen e Specker [KS1,KS2] desenvolveram nos anos 60 alternativas à lógica quântica de Birkhoff e von Neumann baseadas em álgebras booleanas parciais, recentemente revisitadas em estudos de contextualidade [AB], um ingrediente associado à vantagem da computação quântica.
Neste projeto pretende-se estudar as álgebras booleanas parciais e a noção de validade que originam, bem como o cálculo lógico de Kochen e Specker que axiomatiza essa noção de validade. Pretende-se ainda estudar as álgebras booleanas parciais transitivas e a sua relação com os conjuntos parcialmente ordenados ortomodulares [DGG].
Bibliografia:
[AB] Abramsky, S., Barbosa, R. S. The Logic of Contextuality, in C. Baier and J. Goubault-Larrecq (eds), 29th EACSL Annual Conference on Computer Science Logic, CSL 2021, LIPIcs, 5:1-5:18 (2021).
[DGG] Dalla Chiara, M. L., Giuntini, R., Greechie, R. Reasoning in Quantum Theory: Sharp and Unsharp Quantum Logics, in Series Trends in Logic, Springer (2004).
[KS1] Kochen, S., Specker, E. P. The calculus of partial propositional functions, in Y. Bar-Hillel (ed.), Proceedings of the 1964 International Congress for Logic, Methodology and Philosophy of Science, North-Holland, Amsterdam, 45–57 (1965).
[KS2] Kochen, S. and Specker, E. P. Logical structures arising in quantum theory, in J. Addison, L. Henkin and A. Tarski (eds), The Theory of Models, North-Holland, Amsterdam, 177–189 (1965).
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[Proposta BI2022-F] Modelação e simulação numérica da memória imunológica no contexto da autoimunidade
Orientadores: Maria da Piedade Ramos (mpr@math.uminho.pt) e Ana Jacinta Soares (ajsoares@math.uminho.pt)
Público-alvo: alunos do 1º ano do Mestrado em Matemática e Computação e do Mestrado em Estatística para Ciências de Dados
Descrição: A memória das células maioritariamente responsáveis pelo desencadear de uma resposta autoimune no corpo humano, conhecidas como as células T auto reativas, é tida como um fator determinante no comportamento crónico de algumas doenças autoimunes. Esta memoria representa uma constante recordação por parte destas células T do seu comportamento agressivo contra auto antigénios (células benignas). Recentemente foi desenvolvido um modelo matemático que descreve a dinâmica das interações celulares responsáveis pelo desencadear de doenças autoimunes, através de um sistema de equações integro-diferenciais. Contudo, neste modelo, não está comtemplado o efeito da memoria das células T. Uma forma de incluir esse efeito no modelo é introduzir um atraso no parâmetro temporal nas variáveis relacionadas com as células T, sendo que esse novo modelo será descrito por um sistema de equações integro-diferenciais com atraso (delayed differential equations). Neste novo modelo, a descrição do sistema biológico depende do estado do sistema, não só no momento atual, como também num instante passado. As simulações numéricas para o sistema resultante requerem técnicas especializadas, quer pela presença dos termos de atraso, quer pela estrutura integral dos termos de interação celular.
Neste projeto pretende-se que o aluno
- se familiarize com os modelos de autoimunidade, desenvolvidos pela equipa de investigação;
- proceda à inclusão dos termos que caracterizam a memoria das células T nas equações do modelo estudado no ponto 1);
- construa um código numérico adequado ao desenvolvimento de simulações numéricas variadas para o sistema de equações diferenciais com atraso que resulta do ponto 2).
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[Proposta BI2022-G] Modelos Longitudinais em Ciências da Vida e da Saúde
Orientador: Inês Sousa (isousa@math.uminho.pt)
Público-alvo: alunos do 1º ano do Mestrado em Estatística para Ciências de Dados
Descrição: Modelos estatísticos para dados longitudinais são adequados para a análise de dados de medidas repetidas ao longo do tempo em vários indivíduos (pessoas ou outra unidade individual). Na área das ciências da vida e da saúde é comum a existência de grandes bases de dados para o estudo da progressão temporal de um determinado marcador (variável aleatória). Neste projeto propomos o estudo destes modelos longitudinais, aplicados a bases de dados nesta área científica comparando inferências obtidas com as de outros modelos estatísticos
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[Proposta BI2022-H] Modelos topológicos de concorrência
Orientador: Thomas Kahl (kahl@math.uminho.pt)
Público-alvo: alunos do 1º ano do Mestrado em Matemática e Computação
Descrição: Foi descoberto há relativamente pouco tempo que conceitos e métodos da topologia algébrica podem ter utilidade na teoria da concorrência, a área da ciência da computação cujo objeto são sistemas de processos que executam em simultâneo partilhando recursos. Neste projeto serão estudados os principais modelos topológicos de concorrência: espaços pré-ordenados, espaços dirigidos e autómatos de dimensão superior. Será examinado em que medida as categorias destes modelos podem ser relacionadas usando functores que preservam construções que modelam operações de composição de sistemas concorrentes.
Bibliografia:
[1] L. Fajstrup, E. Goubault, E. Haucourt, S. Mimram, and M. Raussen, Directed Algebraic Topology and Concurrency, Springer, 2016.
[2] R.J. van Glabbeek, On the expressiveness of higher dimensional automata, Theoret. Comput. Sci. 356 (2006), no. 3, 265–290.
[3] M. Grandis, Directed Algebraic Topology: Models of Non-Reversible Worlds, New Mathematical Monographs, vol. 13, Cambridge University Press, 2009.
[4] G. Winskel, M. Nielsen, Models for concurrency, Handbook of Logic in Computer Science (vol. 4): Semantic Modelling (S.S. Abramsky, D.M. Gabbay, and T.S.E. Maibaum, eds.), Oxford University Press, 1995, pp. 1–148.
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[Proposta BI2022-I] Sistemas dinâmicos discretos usando Python
Orientador: Davide Azevedo (davidemsa@math.uminho.pt)
Público-alvo: alunos do 1º ano do Mestrado em Matemática e Computação.
Descrição: Pretende-se estudar sistemas dinâmicos não lineares de uma ou duas dimensões. Estudar-se-ão fenómenos de bifurcação, com ênfase na duplicação do período e como isso pode levar ao caos. Serão analisados alguns exemplos, tais como a tenda e a aplicação logística. Utilizar-se-á o Python como ferramenta de suporte, particularmente para fazer gráficos das iteradas de funções e dos diagramas de bifurcação.
Não são necessários conhecimentos prévios de sistemas dinâmicos.
Bibliografia:
Lynch, Stephen, Dynamical Systems with Applications using Phyton, Birkhäuser, 2018.
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[Proposta BI2022-J] Vetores de Killing num tetrado de Newman-Penrose
Orientador: Ana Cristina Ferreira (anaferreira@math.uminho.pt)
Público-alvo: alunos do 1º ano do Mestrado em Matemática e Computação.
Descrição: A equação de Killing diz-nos que a derivada de Lie de uma métrica com respeito a um campo de vetores é nula. As soluções desta equação constituem os designados vetores de Killing. Verifica-se que ao longo da direção dos vetores de Killing a métrica da respetiva variedade é preservada. Os vetores de Killing são objetos de grande importância para o estudo de espaços métricos, como é o caso dos espaços-tempos da teoria da Relatividade Geral. Vetores de Killing em uma variedade possuem uma relação biunívoca com as simetrias existentes da métrica nessa variedade, conhecidas como isometrias. Os vetores de Killing são então os geradores de isometrias do espaço-tempo. Cada vetor de Killing implica a existência de quantidades conservadas associadas ao movimento geodésico das partículas na variedade.
A determinação de vetores de Killing de uma dada métrica em Relatividade Geral pode constituir uma tarefa difícil. Em determinados casos, este exercício pode ser facilitado pela aplicação de operadores de Lie escritos em bases adaptadas à geometria dos espaços-tempo. Em particular, um novo operador de Lie adaptado a um formalismo desenvolvido em um tetrado complexo nulo, conhecido como o tetrado de Newman-Penrose (NP), tem-se revelado muito eficaz na obtenção dos vetores de Killing de determinadas métricas. Ao aplicar este operador de Lie NP na investigação dos vetores de Killing de uma determinada métrica substitui-se as equações de Killing por um sistema equivalente de equações, mas mais fáceis de resolver e que envolvem os comutadores deste novo operador e os quatro operadores diferenciais de NP.
Neste projeto pretende-se que o aluno
- estude o conceito de vetor de Killing numa variedade Lorentziana, o formalismo de Newman-Penrose e o operador de Lie de Newman-Penrose;
- aplique o operador de Lie de Newman-Penrose no estudo dos vetores de Killing de algumas métricas importantes na teoria da Relatividade Geral.
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[Proposta BI2022-K] Estabilidade de modelos de redes neuronais discretos
Orientador: José Joaquim Oliveira (jjoliveira@math.uminho.pt)
Público-alvo: alunos do 1º ano do Mestrado em Matemática e Computação.
Descrição: Nas duas últimas décadas, os modelos de redes neuronais têm atraído a atenção de muitos cientistas, devido ao potencial que apresentam para a resolução de problemas de otimização, de processamento de imagem e de processos com memória associativa. Tipicamente, os modelos de redes neuronais são dados por sistemas de equações diferenciais que incluem atrasos no tempo, para ter em conta o tempo de transmissão de sinais entre diferentes neurónios. Entenda-se por neurónios locais onde se armazena informação.
Tal como os modelos propostos por Cohen, Grossberg e Hopfield [1,4,5] no início da década de 80 do século passado, as redes neuronais são melhor descritas por modelos contínuos. Contudo, o estudo de modelos discretos é essencial para que seja possível a sua implementação computacional. Ou seja, é importante estudar a estabilidade de equações às diferenças que modelem redes neuronais.
Nesta linha, recentemente surgiram critérios de estabilidade global para diferentes tipos de modelos de redes neuronais discretos [2,3].
Neste projeto, num primeiro momento pretende-se que o bolseiro faça um estudo dos principais tipos de modelos de redes neuronais e critérios de estabilidade conhecidos. Num segundo momento pretende-se que o bolseiro estude as técnicas utilizadas em [3] para a obtenção da estabilidade global de modelos de tipo Hopfield e procure saber em que medida se poderá obter critérios de estabilidade para outro tipo de modelos de redes neuronais, tais como BAM (modelos de memória associativa bidirecional), modelos de Cohen-Grossberg e/ou modelos de Hopfield de ordem superior.
Chama-se à atenção que este estudo centra-se no estudo e procura de critérios gerais para a estabilidade de equações às diferenças com atrasos, pelo que se encontra no domínio da matemática pura. Implementações computacionais e/ou aplicações serão bem vindas, mas não é esse o objetivo do projeto.
Bibliografia:
[1] M. Cohen and S. Grossberg, Absolute stability of global pattern formation and parallel memory storage by competitive neural networks, IEEE Trans. Systems Man Cybernet. 13 (1983) 815-826.
[2] Z. Dong, X. Wang, and X. Zhang, \emph{A nonsingular M-matrix-based global exponential stability analysis of higher-order delayed discrete-time Cohen-Grossberg neural networks}, Appl. Math. Comput. 385 (2020), 125401.
[3] Y. Hong and W. Ma, \emph{Sufficient and necessary conditions for global attractivity and stability of a class of discrete Hopfield-type neural networks with time delays}, Math. Biosci. Eng. 16 (2019), pp. 4936--4946.
[4] J.J. Hopfield, Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 79 (1982) 2554-2558.
[5] J.J. Hopfield, Neurons with graded response have collective computational properties like those of two-state neurons, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 81 (1984) 3088-3092.
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